Расчет параметров плиты перекрытия

Несмотря на изобилие готовых плит, монолитные железобетонные плиты по-прежнему пользуются спросом. Особенно, если цель постройки – частный дом, которому присуща своя планировка, с комнатами разных размеров или же в процессе строительства не используются подъемные краны. В подобных случаях монтаж монолитных железобетонных плит перекрытия позволит существенно уменьшить затраты на материалы, их установку или доставку. Однако стоит учитывать, что при этом подготовительные работы, в том числе связанные с опалубкой, займут больше времени. Но не это отпугивает энтузиастов, замышляющих бетонирование перекрытия, ведь изготовление опалубки, заказ арматуры и бетона в наше время не представляют трудностей, гораздо сложнее определить тип необходимого для строительства бетона и арматуры.

Не стоит воспринимать данную статью как руководство к действию, а лишь как носящую сугубо информативный характер.

Все тонкости процесса расчета конструкций из железобетона строго определены нормами СНиП 52-01-2003 и СП 52-101-2003.

Со всеми вопросами, связанными с расчетом железобетонных конструкций, необходимо обратиться за помощью к этим документам. Далее будет рассмотрен расчет железобетонной конструкции – плиты, согласно этим двум приведенным выше нормам и правилам.

Самостоятельный расчет каких-либо строительных конструкций в целом и железобетонных плит в частности делится на несколько этапов, назначение которых заключается в подборе оптимальных параметров, таких как поперечное сечение, класс арматуры или класс бетона, чтобы избежать разрушения железобетонной плиты под действием максимальной нагрузки.

Вычисления будут производиться для поперечного сечения, перпендикулярного оси X. Расчет местного сжатия, продавливания, расчет действия поперечных сил, сил кручения (которые носят название предельных состояний первой группы), расчет на деформацию и раскрытие трещин (называемые еще предельными состояниями второй группы) в данном руководстве производиться не будет, исходя из предположения, подтверждающегося практикой, что для обычной железобетонной плиты перекрытия в условиях жилого дома в таком расчете нет необходимости. Исходя из вышесказанного, стоит ограничиться лишь расчетом, где на поперечное (нормальное) сечение действует изгибающий момент.

Расчетная длина плиты

Действительная длина железобетонной плиты может иметь любые значения, тогда как значение расчетной длины или же, выражаясь техническим языком, пролета балки (плиты перекрытия) будет совершенно другим. Пролетом называется расстояние между двумя стенами, поддерживающими плиту. То есть пролет представляет собой длину или ширину помещения. Определить его довольно просто: достаточно измерить рулеткой это расстояние, меряя от стены и до стены. Реальная длина монолитной железобетонной плиты, разумеется, будет больше. Опорой для плиты перекрытия могут служить стены из кирпича, камня, шлакоблока, пено-, газо- или керамзитобетона. Учитывая характер наших расчетов, материал стен кажется не столь важным, но если прочность материалов недостаточная для плиты (в случае шлакоблока, керамзитобетона, пенобетона и газобетона), то стены должны быть рассчитаны для соответствующих нагрузок. Ниже будет рассмотрена однопролетная длина перекрытия, опорой для которой служат две стены. Расчет плиты, опирающейся на четыре несущие стены (по контуру), в этой части рассматриваться не будет.

Чтобы лучше усвоить всю приведенную выше информацию, примем какое-то конкретное значение длины, например, 4 м.

Геометрические параметры плиты, класс бетона и арматуры

Вышеперечисленные параметры пока являются неизвестными для нас, но с целью проведения расчета можно их предварительно задать.

Пусть высота плиты будет h = 0.1 м, а условная ширина b = 1 м. Условность в рассматриваемом случае будет означать, что плита перекрытия расценивается как балка высотой 0,1 м и шириной 1 м и получившиеся результаты расчета будут применяться для всей ширины плиты. То есть если расчетная длина плиты будет 4 м и ширина 6 м, то для каждого ее метра будут применяться параметры, которые определялись для нашего расчетного 1 метра.

Итак, принимаемое значение высоты – 0.1 м, ширины – 1 м, класс арматуры – A400, класс бетона – В20.

Выбор опоры

В зависимости от того на какую ширину плита перекрытия опирается на стену, а кроме того, от типа материала, из которого состоит несущая стена, ее веса, существуют такие методы рассматривания железобетонной плиты перекрытия: шарнирно-опертая бесконсольная балка, шарнирно-опертая консольная балка или балка с жестким защемлением на опорах. Тип опоры играет огромную роль при расчетах.

Ниже будет рассмотрена шарнирно-опертая бесконсольная балка, так как это самый распространенный случай инсталляции.

Нагрузка на балку

Существуют самые разнообразные виды нагрузок на балку. Через призму строительной механики любой объект, который лежит, приклеен, прибит или подвешен на плите, представляет собой статическую нагрузку, и нагрузка эта чаще всего постоянная. Все же объекты, способные ходить, ползать, бегать, ездить и даже падать на поверхность балки, представляют собой динамические нагрузки, которые, как правило, являются временными. При произведении расчета в данном примере разницей между динамической и статической нагрузкой можно будет пренебречь.

Кроме того, нагрузки делятся на равномерно распределенные, сосредоточенные, неравномерно распределенные и т.д., но тем не менее нет нужды настолько сильно углубляться в подробное рассмотрение, как именно сочетаются всевозможные нагрузки. В примере расчета достаточно будет ограничиться равномерным распределением нагрузки. Этот тип нагрузки железобетонных плит наиболее часто встречается в жилых домах. Сосредоточенную нагрузку измеряют в килограммах, или в ньютонах и кг-силах (кгс).

Равномерно распределенную нагрузку измеряют в Н/м. Стоит заметить, что в жилых домах плиты перекрытия обычно рассчитаны на величину распределенной нагрузки, равную 400 Н/м². Если высота плиты равна 0.1 м, ее собственный вес прибавит около 250 кг/м² к приведенной выше нагрузке, керамическая плитка и стяжка способны добавить еще 100 кг/м². Такая величина распределенной нагрузки учитывает практически все возможные сочетания конструктивных нагрузок на бетонные перекрытия в жилых помещениях, но, конечно, никто не запретит рассчитывать перекрытия на большие нагрузки, тем не менее пока что ограничимся таким значением. Можно на всякий случай умножить его на так называемый коэффициент надежности ?, равный 1.2, если все-таки, выполняя расчет, что-то упустим:

q = (400 Н/м + 250 Н/м +100 Н/м)1.2 = 900 Н/м

так как рассчитываются параметры для плиты шириной 0.1 м, то эту распределенную нагрузку можно рассматривать как плоскую нагрузку, действующую на плиту вдоль оси у и измеряемую в Н/м.

Максимальный изгибающий момент на поперечное сечение

Для нашей бесконсольной балки с действующей на нее равномерно распределенной нагрузкой и, как уже было обусловлено, находящейся на опорах шарнирного типа, в данном случае плиты перекрытия, положенной на стены, значение максимального изгибающего момента:

М_max = (q * l²) / 8

и прикладываться он будет посередине балки. Для пролета длиной 4 м он равен:

М_max = (900 * 4²)/ 8 = 1800 кг.м

Основы расчета

Основой для расчета железобетонных плит перекрытия в согласованности с СП 52-101-2003 и СНиП 52-01-2003 служат такие расчетные предпосылки:

Сопротивление бетона силам растяжения считается равным нулю. Подобное допущение сделано на том основании, что, по сравнению с сопротивлением к растяжению арматуры, сопротивлением бетона к растяжению можно пренебречь (разница между сопротивлениями этих двух элементов порядка 100). По этой причине в зоне, на которую действуют растягивающие силы, из-за разрыва бетона появляются трещины, поэтому в поперечном сечении балки на растяжение может работать только арматура (схема 1).

Сопротивление, которое бетон оказывает сжатию, принимаем распределяющимся равномерно вдоль зоны сжатия. В итоге для сопротивления бетона к сжатию принимаем значение не больше R_b – расчетного сопротивления.

Для максимального, растягивающего в арматуре напряжения также принимается значение, не превышающее расчетное сопротивление R_s;

В качестве основания для подобных предпосылок используется такая расчетная схема:

Схема 1. Распределение усилий, действующих на прямоугольное поперечное сечение железобетонной плиты

Для избегания возможного обрушения конструкции в результате эффекта образования пластического шарнира, существующее соотношение между ?, высотой зоны сжатия бетона y и расстоянием между центром тяжести арматуры и верхом балки h₀, ? = у/h_o (6.1) не должно превышать определенное предельное значение ?_R, которое можно определить по такой формуле:

Приведенная формула является эмпирической, основанной на опыте, полученном при проектировании конструкций из железобетона, где R_s — сопротивление арматуры, полученное расчетным путем, измеряемое в мПа, хотя на данном этапе можно ограничиться табличными значениями параметров:

Важно: Если расчет выполняют проектировщики, не обладающие достаточным опытом, рекомендуется использовать заниженное в 1.5 раза значение ?_R.

Где а_R – расстояние между центром окружности, образованной плоскостью поперечного сечения арматуры и нижней частью балки. Необходимость в этом расстоянии продиктована обеспечением надежного сцепления арматуры с материалом бетона. Чем больше значение а, тем лучший обхват у прутьев арматуры, но стоит заметить, что при этом полезное значение параметра h₀ уменьшается.

Принимаемые значения а обычно тесно связаны с диаметром арматуры, причем расстояние между низом балки (в нашем случае представленной в качестве плиты перекрытия) и нижней частью арматуры не должно быть меньше диаметра арматуры и не менее 0.01 м, в случае если диаметр арматуры меньше этой величины. Для дальнейших расчетов примем значение а, равное 0.02 м.

При условии ? ? ?_R и если арматура отсутствует в зоне действия сил сжимания, то прочность бетона следует проверять по этой формуле:

M < R_bbу (h₀ – 0.5у)

Полагаем, что физический смысл вышеприведенной формулы ясен. Любой момент можно представить как силу, действующую с определенным плечом, поэтому необходимо, чтобы для бетона соблюдалось условие, описанное в приведенной выше формуле.

— Прочность прямоугольных сечений при ? ? ?_R и наличии одиночной арматуры проверяется по формуле:

M ?R_sA_s (h₀ – 0.5у)

Пояснение формулы: опираясь на расчет, арматура должна выдержать нагрузку, идентичную той, что выдерживает бетон, так как к арматуре приложена та же сила с тем же плечом, что и к бетону.

Примечание: приведенная выше расчетная схема предполагает, что сила действует вдоль плеча, равного (h₀ — 0.5у), дает возможность сравнительно легко и просто определить основные параметры, характерные для поперечного сечения, как будет показано в последующих формулах, логичным путем выведенных из M < R_bbу (h₀ — 0.5у) и M ?R_sA_s (h₀ — 0,5у). Однако это не единственная расчетная схема, ниже будет рассмотрен также альтернативный расчет по отношению к центру тяжести приведенного сечения, но, в отличие от балок из дерева и металла, расчет железобетона по предельным растягивающим или сжимающим напряжениям, локализованным в нормальном (поперечном) сечении балки, довольно сложен. Сам по себе железобетон как материал сложный, обладающий неоднородной структурой, и даже это еще не все сложности. Данные, полученные в результате многочисленных экспериментов, показали, что такие параметры, как предел текучести, модуль упругости, предел прочности и другие, обладают весьма значительным разбросом.

К примеру, в ходе определения такого параметра бетона, как предел прочности на сжатие, оказалось, что результаты различались между собой, даже когда бетон был представлен образцами одного замеса. Единственное объяснение этому факту заключается в том, что прочность бетона зависит от большого количества факторов: активности цемента, качества (учитывая и степень загрязнения), крупности, способа уплотнения и других технологических факторов. Принимая все вышесказанное во внимание, необходимо понимать, что предел прочности железобетона, будучи результатом случайных факторов, тоже по своей природе будет обладать определенной случайностью.

Ситуация с другими стройматериалами: древесиной, кирпичной кладкой или полимерными композитными материалами – будет аналогичной. Даже в случае таких, казалось бы, классических материалов, как алюминиевые сплавы или сталь, есть хорошо заметный разброс для различных прочностных параметров. Для того чтобы описать такие случайные величины, используют разнообразные вероятностные характеристики, определяемые в результате проведения статистического анализа данных многочисленных опытов. Самые простые из них – это коэффициент вариации, который еще называют коэффициентом изменчивости и математическое ожидание. Коэффициент вариации – это результат от деления среднеквадратического разброса на математическое ожидание случайной величины. Согласно нормам проектирования конструкций из железобетона, коэффициент вариации учитывается при расчете коэффициента надежности для бетона. В связи с этим сложно найти идеальную схему расчета для железобетона, но тем не менее вернемся к дальнейшим расчетам.

Высота сжатой зоны для бетона при условии отсутствия в ней арматуры определяется согласно следующей формуле:

Чтобы определить сечение арматуры, предварительно определяем коэффициент a_m:

Если выполняется условие а_m < a_R , то в сжатой зоне нет необходимости использовать арматуру, значение а_R можно определить, используя значения из приведенной выше таблицы.

При условии, что в сжатой зоне нет арматуры, ее сечение определяется исходя из следующей формулы:

Альтернативный пример расчета железобетонной конструкции

Выполняя расчет железобетонных плит и других конструкций, могут оказаться полезными такие предпосылки:

Для упрощения расчетов момент сопротивления арматуры по отношению к своему же центру тяжести, ввиду своей незначительности по сравнению с таким же моментом сопротивления, но взятым относительно общего центра масс. Тем не менее, попробуем учесть его в наших расчетах. Итого, формула для расчетов будет выглядеть следующим образом:

W_p = W_a + F_a. (h₀-y) = MR_a

Когда производился расчет по предельным напряжениям для прямоугольного сечения, расчетное сопротивление делилось на 2, однако, если учесть максимально близкое расположение арматуры к нижней части сечения, в делении на 2 нет необходимости, так как только одна единица арматуры работает на растяжение и, учитывая относительно большое расстояние между центром сечения арматуры и центром тяжести самого сечения, все возникающие в арматуре нормальные напряжения, растягивающие арматуру, можно рассмотреть как равномерно распределяющиеся.

К примеру, используемый класс арматуры – А400 и ее расчетное сопротивление напряжению – R_р , все чаще обозначаемое как R_s= 0.36 кг/ м². Тем не менее будем придерживаться обозначения R_a – для ясности, что относится оно к арматуре.

W_рR_а = М / 2

Исходя из этого:

W_a + F_a. (h₀-y) = М /2R_а

F_a = М /(2R_а(h₀ -y)) – W_a /(h₀ – y)

Если при необходимости изменить значения исходных параметров для арматуры, сохраняя при этом основные параметры, изменится размещение центра тяжести данного сечения. По мере увеличения диаметра арматуры соответственно изменится площадь ее поперечного сечения, а центр тяжести будет смещаться ниже, в результате чего высота сжатой зоны бетона уменьшится. Увеличивая класс арматуры и тем самым смещая центр тяжести ее сечения ниже, мы увеличиваем высоту сжатой зоны бетона. И напротив, уменьшая класс арматуры, мы сместим центр тяжести сечения выше, и, соответственно, уменьшится высота сжатой зоны бетона. В случае если по каким-то конструктивным соображениям поперечное сечение арматуры гораздо больше требуемого (на 1/3 и больше), то необходимо повторно выполнить расчет для сечения. Возможно, нужно будет уменьшить класс бетона. Наоборот, уменьшая необходимую площадь сечения для арматуры, необходимым средством будет увеличение класса бетона, притом что остальные параметры останутся без изменений.